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Où se trouve le centre de la France ?

En me baladant sur le net, j'ai vu que plusieurs localités différentes revendiquaient être le "centre" géographique de la France. En revanche, je n'ai pas trouvé d'explications sur la méthode qui avait été utilisée dans chaque cas pour aboutir à la conclusion. Je n'ai pas trouvé non plus la définition du mot "centre" dans ce cas précis.

J'ai donc décidé d'apporter ma petite pierre à cet édifice, de la façon la plus rigoureuse possible. Tout d'abord, en donnant la définition du mot "centre" que j'ai utilisée (celle qui, pour moi, s'approche le plus de la définition du centre d'un cercle) : le centre d'une figure géométrique est un point (avec cette définition, il pourrait y en avoir plusieurs) qui est "le plus équidistant possible" de tous les points de cette figure. L'expression "le plus équidistant possible" a l'air vague. Il n'en est rien : je veux dire qu'un point sera un centre si les distances de ce point à tous les points de la frontière sont le moins possible différentes. Autrement dit, si ces distances sont dispersées au minimum. Et enfin, dit mathématiquement, si la variance de l'ensemble de ces distances est minimum.

Ensuite, j'ai écrit un petit programme en pascal (Delphi) qui cherche ces points. Les connaisseurs (!) trouveront le code de ce programme au bas de la page. Il utilise l'image monochrome (le point rouge a été ajouté après) ci dessous :

Cette image fait 543 pixels de large et 548 pixels de haut. Il y a donc au total 543x548=297564 points dans l'image. La frontière est constituée de 4029 points noirs.

Pour chaque point de l'image non situé sur la frontière (293535 points), le programme calcule la distance de ce point à chacun des 4029 points constituant la frontière (ça fait un paquet de calculs !). Ensuite, le programme calcule la variance des distances du point choisi à chaque point de la frontière, et mémorise cette variance. Enfin, le programme cherche la variance minimum et les points qui correspondent.

Le verdict : il n'y a qu'un seul point répondant à la question. C'est le point marqué en rouge sur la carte. Il se trouve à 301 pixels du bord gauche et à 295 pixels du bord supérieur.

Je vais maintenant déterminer précisément quel est ce lieu. Pour cela, j'ai utilisé le site Lion1906, qui permet de déterminer les coordonnées de toutes les localités de France. Les coordonnées angulaires utilisées sont toutes exprimées en radians.

Le point le plus au nord de la carte (ordonnée nulle) est Bray-Dunes (latitude N : 0,891703259).
Le point le plus à l'est de la carte (abscisse 543) est l'embouchure de la Lauter (longitude E : 0,140145087).
Le point le plus au sud de la carte (ordonnée 548) est Prats de Mollo (latitude N : 0,73885605).
Le point le plus à l'ouest de la carte (abscisse nulle) est la pointe de Corsen (longitude O : 0,0837128).

(sources : Quid)

En faisant un simple changement de repère, on calcule que les coordonnées angulaires du point (301;295) de ma carte sont (301x(0,140145087-(-0,0837128))/543-0,0837128;295x(0,73885605-0,891703259)/548+0,891703259), c'est à dire :

Longitude Est : 0,040377852
Latitude Nord : 0,809422371

A nouveau, le site Lion1906 nous donne la liste des localités les plus proches de ce point :

Palmarès (!) Ville Code postal Distance au point théorique
1 Saint Sauvier 03370 1.7 Km
2 Leyrat
23600 2.6 Km
3 Treignat
03380 3.3 Km
4 Saint Pierre le Bost
23600 4.4 Km
5 Boussac Bourg
23600 6.2 Km
6 Saint Palais
03370 6.4 Km
7 Mesples
03370 6.9 Km
8 Lavaufranche
23600 7.6 Km
9 Saint Marien
23600 7.6 Km
10 Saint Silvain Bas le Roc
23600 7.8 Km

And the winner is...

Saint-Sauvier !

Vous saurez tout sur ce charmant petit village de l'Allier (377 habitants) en tapant "Saint-Sauvier" dans Google (1260 réponses en français au 11/02/04, quand même !).

Generated with HyperDelphi

unit Unit1;

interface

uses
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
  Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Grids;

type
  TForm1 = class(TForm)
    Image1: TImage;
    Button1: TButton;
    Grille: TStringGrid;
    Memo1: TMemo;
    procedure Button1Click(Sender: TObject);
  private

    { Déclarations privées }
    Function getpixel(ax,ay : integer): TColor;
  public
    { Déclarations publiques }
  end;

var

  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

type
  TRGBArray = ARRAY[0..0] OF TRGBTriple;   // élément de bitmap (API windows)

  pRGBArray = ^TRGBArray;     // type pointeur vers tableau 3 octets 24 bits

var
            // attention, pas de bitmap plus haut que 2048 lignes
              Lignes : array[0..2047] of pRGBArray;


function distance(a,b:TPoint):real; {carré de la distance AB}
begin
     result:=sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y);
end;

//  Accès rapide à un pixel
Function Tform1.getpixel(ax,ay : integer): TColor;

const
   Filler : array[0..2] of byte = (0,0,0);   // noir par défaut

var interm:TRGBTRiple;  R,G,B : integer;
begin
  if (ax >= 0) AND (ay >= 0) AND             // limites

    (ax < Image1.Picture.Bitmap.width-1)  AND (ay < Image1.Picture.Bitmap.height-1) then
  interm := Lignes[ay,ax]
  else

  interm := Trgbtriple(Filler);  // transtypage des 3 bytes

  R := interm.RGBtRed;  
  G := interm.RGBtGreen;
  B := interm.RGBtBlue;
  result:= RGB(R,G,B);
end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var x,y,fx,fy,nbpoints,count:integer; d,sd,sd2,v,ppv:real;
begin

        Screen.Cursor:=crHourGlass;

        Grille.RowCount:=Image1.Picture.Bitmap.height*Image1.Picture.Bitmap.width;
        Image1.Picture.Bitmap.pixelformat := pf24bit;
        // précalcul des scanline
        For y := 0 to Image1.Picture.Bitmap.height-1 do Lignes[y] := Image1.Picture.Bitmap.scanline[y];

        count:=0;
        // pour chaque point de l'image

        for y:=0 to Image1.Picture.Height-1 do
                for x:=0 to Image1.Picture.Width-1 do begin

                    // (inutile si c'est un point de la frontière)
                    if (getpixel(x,y)=clWhite) then begin
                       Caption:=IntToStr(x)+' - '+IntToStr(y);
                       nbpoints:=0;  sd:=0; sd2:=0;
                       // pour chaque point de la frontière :
                       // (pour gagner du temps, on aurait pu chercher les points de la
                       //  frontière et les mettre dans un tableau avant cette boucle)
                       for fy:=0 to Image1.Picture.Height-1 do

                           for fx:=0 to Image1.Picture.Width-1 do
                               if (getpixel(fx,fy)=clBlack) then begin
                                    inc(nbpoints);
                                    d:=distance(Point(x,y),Point(fx,fy));
                                    sd:=sd+d; // somme des distances
                                    sd2:=sd2+d*d; // somme des carrés des distances
                               end;     
                       v:=sd2/nbpoints-(sd/nbpoints)*(sd/nbpoints); // variance
                       // on stocke le point et sa variance dans le tableau
                       Grille.Cells[0,count]:=IntToStr(x);
                       Grille.Cells[1,count]:=IntToStr(y);
                       Grille.Cells[2,count]:=FloatToStr(v);
                       inc(count);
                    end;
                end;
        
        // on cherche la plus petite variance.
        ppv:=StrToFloat(Grille.Cells[2,0]);   
        for y:=0 to count-1 do
             if StrToFloat(Grille.Cells[2,y])<ppv then ppv:=StrToFloat(Grille.Cells[2,y]);
        
        // on énumère tous les points qui ont la plus petite variance
        Memo1.Clear;       
        for y:=0 to count-1 do
                if Grille.Cells[2,y]=FloatToStr(ppv) then begin
                        memo1.Lines.Add(Grille.Cells[0,y]+#9+Grille.Cells[1,y]);
                        Image1.Picture.Bitmap.Canvas.Pixels[StrToInt(Grille.Cells[0,y]),StrToInt(Grille.Cells[1,y])]:=clRed;
                end;
        Screen.Cursor:=crDefault;
end;

end.


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